簡介
想要在德州撲克中脫穎而出，理解撲克的數學原理是關鍵所在。在本文中，我們將深入分析撲克數學，說明你必須掌握的每個細節，幫助你在牌桌上戰勝所有對手。德州撲克是一款需要技巧的遊戲，學會洞察局勢和了解對手，可以為你在每個牌局中帶來優勢。撲克同時也是一個數學遊戲，你必須具備在任何情況下都能算出自己或對手獲勝機率的能力。
重要聲明：數學雖然是德州撲克非常重要的一環，但是玩家必然會遇到需要違反數學規則以爭取獲利的時候。例如，在對付特定對手或情況下，就要考慮到隱含賠率和詐唬機會，這時可能就不會遵循數學規則。為了更簡單易懂，我們舉的範例單純只會著重於遊戲的數學層面，並不會考慮到其它因素。
什麼是德州撲克數學？
許多德州撲克玩家並未花時間理解撲克背後的數學基礎。撲克數學其實是一個能夠幫助玩家在做決定時計算底池賠率和勝率的重要工具。撲克是一個建立在機率上的遊戲，所以每種結果或手牌都有特定的發生機率，玩家也因此可以利用撲克機率來作為決策的過程之一。
德州撲克玩家若能成功地看穿對手，就能在每個牌局中取得更多優勢。因此，為了比對手更佔上風，玩家應該學會運用基本的撲克數學和機率分析來計算手牌獲勝的可能性。
延伸閱讀：德州撲克 – 如何在德州撲克私人牌局(home games)中獲勝
為什麼使用撲克數學能讓你成為贏家？
熟悉撲克數學的玩家比不懂的玩家擁有更大的優勢。撲克數學的基本概念包括底池賠率、隱含賠率、期望值等（後面會詳細介紹）。當你進入高注額德州撲克牌局時，像牌型組合和棄牌勝率這樣的進階概念更是重要。
在現金桌或多桌錦標賽中的階層越高，就會遇到越多精通這些撲克數學概念的對手，所以要在德州撲克中獲勝，你就必須像這些玩家一樣具備這些知識。說到底，德州撲克遊戲的核心就是數學。
撲克數學應該什麼時候使用？
無論你在牌桌上的哪個階段，撲克數學都能發揮作用。例如底池賠率和手牌勝率這樣的基本概念，都可以運用在翻牌前、翻牌後和轉牌階段的每個決策上。
知道你的手牌勝率並將其比較對手的手牌範圍是非常重要的。此外，期望值也是德州撲克中另一個關鍵的基本概念；計算你行動（下注、全押或跟注）的期望值，是做出明智決策不可或缺的要素。
接下來，我們將帶你深入研究這些必備的撲克數學概念。
底池賠率
底池賠率指的是利用計算聽牌獲勝可能性，做為決定是否應該跟注或加注的依據。底池賠率是總底池大小與當前下注金額之間的比率。要記得，總底池大小包含當前下注輪內所有下注的金額。例如，若底池有2000元，而對手下注1000元，底池賠率就是3比1。也就是說，你需要支付底池的1/3，才有機會贏得整個底池。
計算底池賠率有以下兩種方法：
- 比率法
- 百分比法
比率法
我們透過一個實例說明：
- 你的手牌：A♥8♥
- 翻牌：2♥7♠J♥
- 情境：包括你自己在內剩下兩名玩家，底池有800元，對手下注200元
以下是比率法的運作過程：
- 計算「成牌機率」：既然你有兩張紅心牌，翻牌又出現兩張紅心，此時你需要計算轉牌抽中紅心組成同花的可能性。有幾種計算方法，但最常見的是計算牌堆中無用牌與有用牌的比率。思考過程如下：
- 這局已知5張牌：2張底牌和3張翻牌。
- 牌堆中還有47張未知的牌。
- 這47張牌中，9張可以使你組成同花，38張不行。
- 表示為比率就是38：9，約等於4：1。
- 比較「底池賠率」：現在知道下一張抽中紅心的發生率是4：1（成牌機率）。也就是說，每4次沒抽中紅心，就有1次會抽中。接下來，你同樣需要用底池大小和下注金額計算比率：
- 對手在800元底池中下注200元，底池總共1000元。
- 你需要跟注200元才有機會贏得1000元。
- 此時比率為1000元：200元，也就是5：1的底池賠率。
- 結果/決策：經過計算，「成牌機率」是 4：1，「底池賠率」是 5：1。這就表示你應該跟注，因為底池提供的賠率大於下一張抽中同花的機率。長期下來，贏來的錢應該會比輸掉的錢多。請記住，只有在底池賠率大於「成牌機率」（抽中你聽的牌的發生率）時才有必要跟注。
百分比法
再舉一個例子：
- 你的手牌：7♠9♠
- 翻牌：6♥8♣A♦
- 情境：這次對手下注300元，因此底池總額達到900元（初始底池600元不重要）。需要計算底池賠率的百分比來決定是否跟注。
以下是百分比方法的運作過程：
- 找出「手牌勝率(card equity)」（手牌勝率與成牌機率(card odds)相同，但用百分比表示）：根據你的底牌和翻牌，你有機會湊成順子。要確定下一張牌完成順子的可能性，則必須再次確定補牌數。補牌指的是能完成目標牌型的牌—在這情況下是順子牌型。牌堆中有四張5和四張10可以完成順子，補牌數共8張。計算下一張牌完成順子的百分比（手牌勝率），將補牌數乘以2再加1：
- 補牌數乘2：8 x 2 = 16
- 加1：16 + 1 = 17%
- 代表湊成順子的機會是17%
- 比較「底池賠率」：請記住，對手下注300元，使底池增加到900元，若要繼續玩並爭取贏得底池的機會，你也必須跟注300元，因此總底池達到了1200元。為了確保決策的準確性，在計算跟注金額相對於總底池的比例時，必須包含自己的下注金額。例如，300元占1200元底池的25%，與900元底池的比例(33.3%)有明顯差異。理解以上概念才能讓你在德州撲克中做出明智決的策。
- 結果/決策：經過計算，「手牌勝率」是17%，「底池賠率」是25%。既然下一張牌完成順子的機率是17%，你理當應該只投入當前底池17%的金額；但由於你需要支付25%才能留在牌局中，現在棄牌才是較明智的選擇。如果以這情況去跟注，長期來說可能會導致虧損。請記住，只有當完成牌型的百分比機率（手牌勝率）大於跟注占總底池百分比（底池賠率）時，才應該跟注。
常見問題：既然還有兩張牌要發，為什麼只計算下一張牌的機率？
當我們在翻牌圈持有同花聽牌時，轉牌圈湊成最佳牌型的機會約為4比1，也就是20%。既然還有兩張牌要發（轉牌和河牌），「手牌勝率」不是應該更接近40% (20% x 2)嗎？
一般來說，這是不對的。這種誤解是玩家考慮底池賠率時最常犯的錯誤之一。
原因如下：計算底池賠率時，我們要比較當前底池大小（包括下注）與下一張牌能讓你完成目標牌型的可能性。如果考慮接下來兩張牌完成聽牌的機率，就必須同時考慮轉牌可能需要投入的額外資金。
然而，準確預測轉牌需要支付的金額幾乎不可能，一次只考慮一張牌會更簡單可靠。這種方法可以避免在翻牌圈為了拿到聽的牌付出更多成本。
只有在一個情況下，計算後面兩張牌完成最佳牌型的綜合機率才具有參考價值，那就是當剩下唯一的對手全下(all-in)的時候；這時，同花聽牌就會使用40%的機率，而不是20%。在這種情況下，轉牌並不會出現更多下注，因為對手沒有額外籌碼可以下注。
總結
初次接觸撲克牌賠率的玩家可能會覺得有點複雜，但這其實是撲克數學的基本概念之一。只要依照底池賠率做出決策，無論你的手牌結果如何，長期下來，你就能成為贏家。
底池賠率的資訊不只是用於決定是否要跟注，也能協助你的下注策略，讓你防守自己的手牌。舉例來說，若推測對手正在湊同花，你就可以下注一個讓對方難以跟注的金額。活用計算底池賠率的策略能確保長期收益，即使你當前的牌沒對手強，你也能取得優勢。
42法則
42法則是計算你抽到理想牌的機率（手牌勝率）的捷徑，是以百分比呈現。以下為你介紹如何使用這個方法計算手牌勝率：
- 翻牌圈等待轉牌時，補牌數乘以2。
- 轉牌圈等待河牌時，補牌數乘以2。
- 翻牌圈等待河牌時（對手全下），補牌數乘以4。
- 記得：補牌是指能完成目標牌型的牌。
將補牌數乘以4或2後，得到的就是百分比的手牌勝率。可以將這個百分比與底池賠率比較，判斷是否值得在聽牌下跟注。不過，要注意42法則僅適用於百分比（機率），並不適用於前面所討論的機會比率。
計算範例
- 同花聽牌：9張補牌 x 2 = 18%
- 順子聽牌：8張補牌 x 2 = 16%
- 兩張高過公牌：6張補牌 x 2 = 12%
- 兩對需要湊成葫蘆：4張補牌 x 2 = 8%
- 同花聽牌且對手在翻牌圈全下：9張補牌 x 4 = 36%
- 順子聽牌且對手在翻牌圈全下：8張補牌 x 4 = 32%
需要記住的重要事項
- 乘以4不常見：唯一應該將補牌數乘以4的情況是在翻牌圈時對手全下。原則上，在翻牌圈或轉牌圈時，將補牌數乘以2即可獲得準確的手牌勝率。
- 只適用於4法則：當補牌數超過8張時，每多一張補牌就減1。
例如，如果有15張補牌且對手全下，計算方式如下：
15 x 4 = 60
15 – 8 = 7
60 – 7 = 53%
這樣，在此特定情況下就可以得到更準確的機率計算。
我們來看一個實際應用42法則的例子。
42法則使用範例
情境：
- 你的手牌：A♥2♥
- 牌面：J♥3♠7♥9♦
- 情境：你聽牌同花。對手在1000元底池中下注1000元。底池現在是2000元，你需要跟注1000元才能試著湊成同花。
- 應該跟注還是棄牌？
同花聽牌有9張補牌數。由於在轉牌圈等待河牌，因此要應用「2法則」。請記住：
- 湊成同花的機率：9張補牌 x 2 = 18%
- 底池賠率：33%（包括你的跟注在內總底池為3000元。1000元/3000元是3000元的33%。）
決策：湊成同花的機率低於底池提供的賠率，所以應該棄牌。換句話說，你沒必要為了繼續玩而跟注超過底池18%的金額，因此你應該棄牌。
規則準確性
為了說明42法則的準確性，下方的兩個表格比較了以這兩個法則推導出來的手牌勝率，以及德州撲克常見聽牌型的實際機率：
「4法則」的準確性 （表格）
| 4法則準確性 | |||
|---|---|---|---|
|
補牌數 |
4 法則 |
實際 |
差異 |
|
4 內廳順子 |
16% |
16.5% |
-0.5% |
|
8 順子 |
32% |
31.5% |
+0.5% |
|
9 同花 |
35% |
35% |
0% |
|
15 同花＋順子 |
53% |
54.1% |
-1.1% |
如表格所示，在應用「4法則」時，手牌勝率與實際機率非常接近，尤其是在對手於翻牌圈全押且還有兩張牌未發的情況下。
「2法則」的準確性 （表格）
| 2法則準確性 | |||
|---|---|---|---|
|
補牌數 |
2法則 |
實際 |
差異 |
|
4 內廳順子 |
8% |
8.7% |
-0.7% |
|
8 順子 |
16% |
17.4% |
-1.4% |
|
9 同花 |
18% |
19.6% |
-1.6% |
|
15 同花＋順子 |
30% |
32.6% |
-2.6% |
「2法則」雖然沒有「4法則」那麼精準，但仍可以簡化計算過程和防止決策錯誤。雖然實際機率會被低估1%或2%，但誤差其實很小，不太可能對你的遊戲過程產生重大影響。
隱含賠率
隱含賠率代表著在底池之外的潛在獲利。隱含賠率能提供的最大金額就是你對手剩餘的籌碼量。
透過觀察對手的籌碼量，你可以判斷在面對對手加注時你的聽牌是否值得跟注。簡單來說，一手牌的隱含賠率是告訴你在成牌後預期可以贏多少錢。
- 如果你預計在成牌後能從對手那裡贏得更多錢，那就代表擁有良好的隱含賠率。
- 如果你預計在後續下注輪中無法從對手那裡贏得更多錢，那就代表隱含賠率很小甚至沒有。
底池賠率與隱含賠率的差異
與底池賠率不同的是，要計算隱含賠率並沒有簡單的數學規則或公式參考。在估算隱含賠率時，除了觀察對手剩下的籌碼量之外，你還需要根據對手的行為和情況做出估計。因此，隨著遊戲經驗的積累，你對隱含賠率的掌握也會相應提升，進而做出更準確的估算。讓我們來看一些實例吧。
良好的隱含賠率：
- 你的手牌： 7♦6♦
- 翻牌： K♥5♠8♣
這個範例牌中，你持有一個雙頭順子聽牌，而且你的對手有很大的籌碼量。如果對手跟了你的下注，你就擁有良好的隱含賠率；因為如果你成功抽到能湊成順子的牌，在後續下注輪中你很可能從對手那裡贏得更多的錢，這是因為對手會很難準確評估你手牌的強度。
不佳的隱含賠率：
- 你的手牌： K♣4♣
- 翻牌： Q♦J♥10♠
同樣是持有一個雙頭順子聽牌。然而，在這個情境中，你的隱含賠率就沒這麼好了。如果你抽到A或9並成功組成順子，當前牌面會讓你的對手感受到威脅，因為依據牌面，很明顯可以形成一個順子。在這種情況下，除非對手也持有順子，否則你很難從對手那裡贏得更多的錢。
另外，如果你的對手剩下的籌碼量不大，這代表著隱含賠率不佳，你無法從對手那裡獲取更多的錢。
整體來說，對手的籌碼量越少，你的隱含賠率越低；你的手牌越好猜，你的隱含賠率也越低。
隱含賠率對玩法有什麼影響？
隱含賠率與底池賠率相輔相成，因為隱含賠率會考慮到未來的潛在獲利。也就是說，即使當下的底池賠率不太有利，只要你判斷接下來能從對手處贏得更多，你仍有合理的依據選擇跟注。
例如，如果你持有最高順子聽牌，下一張牌組成順子的機率（成牌機率）是5比1，而對手下注1500元，跟注的賠率為4比1，單憑底池賠率來看這似乎是一個不明智的選擇。但是，如果你預期到良好的隱含賠率，那麼跟注就很合理，因為未來的潛在獲勝金額超過了棄牌的損失。
隱含賠率的關鍵規則：
- 即使底池賠率不利，但擁有良好隱含賠率仍可以選擇跟注。
- 估算隱含賠率必須考慮到對手的籌碼量。
- 當隱含賠率有限或不存在時，請堅持依據底池賠率判斷。
隱含賠率怎麼計算？
雖然很難精確計算你的隱含賠率獲利，但你可以算出需要多少的隱含賠率，跟注才能獲利。
計算方法很簡單：只需從成牌機率中減去底池賠率，就可以找到所需的隱含賠率。然後將這個比率與你需要跟注的金額進行比較，確保你之後能從對手那裡贏得足夠的金額，讓這次跟注至少能夠達到收支平衡。
我們來看一個例子：
你持有一個同花聽牌，而對手下注1000元，面對1000元的底池，也就是說，你需要跟注1000元才能贏得2000元的底池。
計算過程：
- 抽到同花的成牌機率： 4：1
- 底池賠率： 2：1
- 成牌機率 – 底池賠率 = 2：1
因此，要確保1000元的同花聽牌跟注至少能維持收支平衡，就必須在剩餘的下注輪內，從對手那裡再爭取2000元的獲利。
總結
隱含賠率有助於在計算底池賠率後，判斷是否應該跟注。若你的底池賠率對成牌並不有利，但卻擁有良好的隱含賠率，跟注仍是合理的選擇。相反的，若隱含賠率很低，你還是要堅守底池賠率的判斷。需要注意的是，當對手全押時，後續就沒有下注輪，你將完全沒有任何隱含賠率可言。面對大額加注時也要謹慎，因為隱含賠率可能無法合理化你的跟注。總體來說，要掌握底池賠率和隱含賠率，累積玩德州撲克的實戰經驗是最好的方法。
期望值
期望值（EV）在德州撲克中最常聽到的術語之一。期望值指的是特定的行動或牌型所預期的平均獲勝或損失金額。在德州撲克中，每一個動作：過牌、跟注、下注、加注或棄牌，都有一個相應的期望值（EV）。有些行動會獲得收益，而另外一些行動則會導致損失。即使在獲勝的牌局中，其平均利潤也可能存在差異，你的目標就是要選擇期望值最高的行動。
有兩個你必須知道的重要縮寫：
- 正期望值（+EV）表示長期下來能贏錢的正期望值玩法。
- 負期望值（-EV）表示長期下來會虧損的負期望值玩法。
同花聽牌的基本範例
在這個範例中：
- 你的手牌： A♠2♠
- 翻牌和轉牌： Q♠K♥3♠7♦
- 底池為1000元，對手500元全押。所以你必須跟注500元，以獲得贏得總共1500元的機會。
利用期望值的概念，你可以精確地計算出你跟注後可能會贏或輸多少的平均值。假設在河牌抽到同花的機會是4比1，大約是20%的機率或0.2；那麼沒有抽到同花的機率就是1 – 0.2 = 0.8。以下是可能的結果：
- 跟注 + 抽到同花 = +1500元
- 抽到同花的機率： 20%
- 跟注 + 沒抽到同花 = -500元
- 沒抽到同花的機率： 80%
- 注意： 我們在每個情境中的目標是贏得1500元，而且只輸500元，這500元的損失代表了我們為了湊齊同花這個特定決策而投入的金額，不包括之前的下注。
計算EV：
- EV = 抽到同花 + 沒抽到同花
- （1500元 x 0.2） + （-500元 x 0.8） = 300元 – 400元 = -100元
這個算式代表：為了抽到同花選擇每次跟注，我們平均都會損失100元。這是一個負期望值的行動，因此相較於跟注，棄牌會是更好的選擇。
期望值為什麼很重要？
玩撲克德州時，你的每個行動都應以期望值（EV）最大化為目標。雖然在有些情況下想要實現這個目標並不容易，但你還是應該盡量在每個牌局中做出最高正期望值（+EV）的行動，以最大化你的長期獲利。
期望值要怎麼使用？
與底池賠率不同的是，期望值無法在遊戲過程中即時計算以評估獲利的多寡。由於沒有足夠的時間即時計算每個行動的期望值，因此期望值更適合用於賽後分析、協助評估在特定牌局中是否有做出最佳決策。理解期望值對於評估你在玩德州撲克時的行動效益非常重要。
結語
掌握底池賠率、隱含賠率和期望值等基本撲克數學概念，是任何有心鑽研德州撲克玩家必備的基礎。玩家能夠在牌桌上利用這些概念，做出對自己最為有利的決策，幫助自己評估每次行動的獲利潛力。透過徹底理解這些數學原理，玩家的策略思維層次能大幅提升，整體表現也會進步。
熟悉這些基本數學概念只是個開始，想要讓你的遊戲技術提升到一個新的境界，就必須吸收更多的知識。在後續的部落格文章中，我們將探討中級和高級數學相關題材，例如棄牌勝率、手牌概念等等。敬請期待！
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